Question

12．如圖，AB為⊙O的切線，切點為B，連接AO，OA與⊙O交于點C，BD為⊙O的直徑，連接CD，若∠A=30°，⊙O的半徑為4，則圖中陰影部分的面積為（　　）

• A． $\frac{4}{3}π-\sqrt{3}$
• B． $\frac{4}{3}π-2\sqrt{3}$
• C． $4π-4\sqrt{3}$
• D． $\frac{16}{3}π-4\sqrt{3}$

Answer 1

分析 過O點作OE⊥CD于E，首先根據切線的性質和直角三角形的性質可得∠AOB=60°，再根據平角的定義和三角形外角的性質可得∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，根據含30°的直角三角形的性質可得OE，CD的長，再根據陰影部分的面積=扇形OCD的面積-三角形OCD的面積，列式計算即可求解．

解答 解：如圖，過O點作OE⊥CD于E，
∵AB為⊙O的切線，
∴∠ABO=90°，
∵∠A=30°，
∴∠AOB=60°，
∴∠COD=120°，∠OCD=∠ODC=30°，
∴OE=$\frac{1}{2}$OD=2，CE=DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OD=2$\sqrt{3}$，
∴CD=2CE=4$\sqrt{3}$，
∴S_陰影=S_扇形COD-S_△COD=$\frac{120π×{4}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{3}$×2=$\frac{16π}{3}$-4$\sqrt{3}$，
故選D．

點評 本題主考查了扇形面積的計算，切線的性質，本題關鍵是理解陰影部分的面積=扇形OCD的面積-三角形OCD的面積．