Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD=1，BC=3，CD=4，EF為梯形的中位線，DH為梯形的高，則下列結論：①. ∠BCD=60°；②. 四邊形EHCF為菱形；③ ；

④. 以AB為直徑的圓與CD相切于點F.其中正確的個數是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

在直角三角形CDH中，CH=BC-BH，而四邊形ABHD是矩形，故AD=BH，從而可求CH，利用30°角的性質可求∠CDH=30°，進而可求∠DCB的值；再利用梯形中位線定理可證四邊形EHCF是菱形；△BEH與△EHC時等高的兩個三角形，求面積比，也就是求底邊的比，即BH：CH；在△CDH中利用勾股定理，可求DH，即AB的值，用其一半與EF比較，相等則切于F，否則不成立．

解：在Rt△DCH中，CD=4，CH=CB-BH=2，

∴∠CDH=30°,

∴∠BCD=60°，故①正確；

在四邊形EHCF中，

∵EF為梯形的中位線，

∴CH=EF=2，CH∥EF，CF=CD=2，

∴四邊形EHCF為平行四邊形，

∵CH=CF=2,

∴四邊形EHCF是菱形，故②正確；

∵S△BEH=BHEB=×1×EB=EB，

S△CEH=CHEB=×2×EB=EB，

∴S△BEH=S△CEH．故③正確；

以AB的直徑的圓的半徑為,而EF=2，R≠EF．所以AB為直徑的圓與CD不相切于點F．故④不正確；

故選C．