Question

如圖，∠C=90°，∠CAE=∠ABC，AC=2，BC=3．
（1）判斷AE與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）求OB的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及∠CAE=∠ABC得出∠OEB=∠ABC=∠CAE，進(jìn)而得出∠AEC+∠OEB=90°，求出答案即可；
（2）根據(jù)相似三角形的判定得出△ACE∽△BCA，進(jìn)而得出AB，BM的長，再利用△BOM∽△BAC，得出=求出BO即可．
解答：（1）證明：連接OE，
∵OE=OB，
∴∠OEB=∠OBE，
又∵∠CAE=∠ABC，
∴∠OEB=∠ABC=∠CAE，
∴∠AEC+∠OEB=90°，
∴∠AEO=90°，
∴AE與⊙O相切．

（2）解：過點(diǎn)O作OM⊥BE，于點(diǎn)M，
∵∠C=∠C=90°，∠CAE=∠ABC，
∴△ACE∽△BCA，
∴=，
∴，，
則BM=，
AB==，
∵∠C=90°，∠OMB=90°，
∴OM∥AC，
∴△BOM∽△BAC，
∴=，
∴，
∴．
點(diǎn)評：此題主要考查了切線的判定以及相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知作出輔助線OM⊥BE進(jìn)而求出BM的長是解題關(guān)鍵．