Question

如圖，P是等邊三角形ABC內的一點，連接PA，PB，PC，以BP為邊作∠PBQ=60°，且BQ=BP，連接CQ．
（1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關系，并證明你的結論；
（2）若PA：PB：PC=3：4：5，連接PQ，試判斷△PQC的形狀，并說明理由．

Answer 1

解：（1）猜想：AP=CQ，
證明：∵∠ABP+∠PBC=60°，∠QBC+∠PBC=60°，
∴∠ABP=∠QBC．
又AB=BC，BP=BQ，
∴△ABP≌△CBQ，
∴AP=CQ；

（2）由PA：PB：PC=3：4：5，
可設PA=3a，PB=4a，PC=5a，
連接PQ，在△PBQ中
由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°，
∴△PBQ為正三角形．
∴PQ=4a．
于是在△PQC中
∵PQ²+QC²=16a²+9a²=25a²=PC²
∴△PQC是直角三角形．
分析：根據等邊三角形的性質利用SAS判定△ABP≌△CBQ，從而得到AP=CQ；設PA=3a，PB=4a，PC=5a，由已知可判定△PBQ為正三角形從而可得到PQ=4a，再根據勾股定理判定△PQC是直角三角形．
點評：此題考查學生對等邊三角形的性質，直角三角形的判定及全等三角形的判定方法的綜合運用．