Question

如圖，矩形ABCD的四個頂點為(2，5)、B(2，2)、C(3，2)、D(3，5)，兩條拋物線頂點都在原點，分別過A點和C點。

（1）求兩條拋物線的解析式；若拋物線y=ax²與矩形ABCD有公共點，求a的取值范圍；

（2）有過原點的直線y=kx和矩形ABCD總有公共點，求k的取值范圍；

（3）是否存在過原點的直線y=kx，把矩形ABCD分成面積相等的兩部分，若存在，求出直線的解析式；若不存在，請說明理由。

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（1）由y=ax2過A點，得，∴ ，由y=ax2過C點，得，∴ 若拋物線y=ax2與矩形ABCD有公共點，則，（2）過A點的直線方程為，過C點的直線方程為，∴ 過原點的直線y=kx與矩形ABCD有公共點則； （3）若存在過原點的直線y=kx把矩形ABCD分成面積相等的兩部分，則直線y=kx必要同時交邊AB和CD或同時交邊BC和AD。 1°若直線AD有公共點， 與線段AD有公共點，則 ∴ 直線y=kx不能同時交BC和AD，不可能這樣把矩形ABCD分成面積相等的兩部分。 2°若直線y=kx與線段CD有公共點，則，與線段AB有公共點，則，∴ 當時，直線y=kx必交AB于E，交CD于F，設E(2，2k)，F(3，3k)，得BE=2k-2，CF=3k-2，當BE+CF=3時直線y=kx把矩形ABCD分成面積相等的兩部分即(2k-2)+(3k-2)=3，解得  ∴ 存在直線把矩形ABCD分成面積相等的兩部分。