Question

【題目】閱讀下面材料，并解決問題：

如圖等邊內有一點P，若點P到頂點A、B、C的距離分別為3，4，5，求的度數(shù)．為了解決本題，我們可以將繞頂點A旋轉到處，此時≌，這樣就可以利用旋轉變換，將三條線段PA、PB、PC轉化到一個三角形中，從而求出______；

基本運用

請你利用第題的解答思想方法，解答下面問題:已知如圖，中，，，E、F為BC上的點且，求證：；

能力提升

如圖，在中，，，，點O為內一點，連接AO，BO，CO，且，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）．

【解析】

根據(jù)旋轉變換前后的兩個三角形全等，全等三角形對應邊相等，全等三角形對應角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答；

把繞點A逆時針旋轉得到，根據(jù)旋轉的性質可得，，，，，再求出，從而得到，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得，再利用勾股定理列式即可得證．

將繞點B順時針旋轉至處，連接，根據(jù)直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半求出，即的長，再根據(jù)旋轉的性質求出是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得，等邊三角形三個角都是求出，然后求出C、O、、四點共線，再利用勾股定理列式求出，從而得到．

≌，

、、，

由題意知旋轉角，

為等邊三角形，

P，，

易證為直角三角形，且，

；

故答案為：；

如圖2，把繞點A逆時針旋轉得到，

由旋轉的性質得，，，，，，

，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，，

，

，

由勾股定理得，，

即．

如圖3，將繞點B順時針旋轉至處，連接，

在中，，，，

，

，

繞點B順時針方向旋轉，

如圖所示；

，

繞點B順時針方向旋轉，得到，

，，，

是等邊三角形，

，，

，

，

、O、、四點共線，

在中，，

．