Question

某商場購進一批單價為50元的商品，規定銷售時單價不低于進價，每件的利潤不超過40％.其中銷售量y(件)與所售單價x(元)的關系可以近似的看作如圖所表示的一次函數.

（1）求y與x之間的函數關系式，并求出x的取值范圍；
（2）設該公司獲得的總利潤(總利潤＝總銷售額－總成本)為w元，求w與x之間的函數關系式.當銷售單價為何值時，所獲利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

（1）y＝－10x＋1000，50≤x≤70；（2）w＝－10(x－75)²＋6250，x＝70，利潤最大為6000元

解析試題分析：（1）設y與x的函數關系式為y＝kx＋b(k≠0)，根據待定系數法即可求得結果；
（2）先根據總利潤＝總銷售額－總成本列出w與x之間的函數關系式，再根據二次函數的性質即得結果.
（1）最高銷售單價為50(1＋40%)＝70(元)
根據題意設y與x的函數關系式為y＝kx＋b(k≠0)
∵ 函數圖象經過點(60，400)和(70，300)，
∴ 解得
∴y與x之間的函數關系式為y＝－10x＋1000，x的取值范圍是50≤x≤70；
（2）由題意得w＝(x－50)(－10x＋1000)－10x²＋1500x－50000＝－10(x－75)²＋6250
∵a＝－10 ，
∴拋物線開口向下.
又∵ 對稱軸是x＝75，自變量x的取值范圍是50≤x≤70，
∴y隨x的增大而增大
∴ 當x＝70時，w最大值＝－10(70－75)²＋6250＝6000(元).
∴ 當銷售單價為70元時，所獲得利潤有最大值為6000元
考點：二次函數的應用
點評：本題知識點多，綜合性強，難度較大，一般是中考壓軸題，主要考查學生對二次函數的性質的熟練掌握情況.