Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC的中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F，給出以下四個結論：
①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四邊形AEPF=S△ABC；④EF=AP．上述結論始終正確的有（ ）

②③

A.①②③④B.①②③C.①③④D.②③④

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據等腰直角三角形的性質得：AP⊥BC，AP=BC，AP平分∠BAC．所以可證∠C=∠EAP；∠FPC=∠EPA；AP=PC．即證得△APE與△CPF全等．根據全等三角形性質判斷結論是否正確．

∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，
∴∠APE=∠CPF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點，

∴AP=CP，
∴∠PAE=∠PCF，
在△APE與△CPF中，

，
∴△APE≌△CPF（ASA），
同理可證△APF≌△BPE，
∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S四邊形AEPF=S△ABC，①②③正確；
而AP=BC，當EF不是△ABC的中位線時，則EF不等于BC的一半，EF≠AP，
∴故④不成立．
故始終正確的是①②③．
故選：B.