Question

已知函數y=kx²-2（k-1）x+（k+1）（k為常數）的圖象與x軸總有交點，則k的取值范圍是（　　）

• A．k≤

  1

  3

• B．k≤

  1

  3

  且k≠0
• C．k＜

  1

  3

• D．k＞

  1

  3

Answer 1

分析：函數可能是二次函數，也可能是一次函數，應分兩種情況進行討論；當它是二次函數，即k≠0時，關于x的方程kx²-2（k-1）x+（k+1）=0有兩個不相等的實數根，二次函數的圖象與x軸有兩個交點；當它是一次函數，即k=0時，函數y=2x+1與x軸有一個交點．

解答：解：當k=0時，函數是一次函數，函數是y=2x+1，與x軸有一個交點；
當k≠0時，函數y=kx²-2（k-1）x+（k+1）為二次函數，其圖象與x軸總有交點，即關于x的方程kx²-2（k-1）x+（k+1）=0有實數根，則
△=4（k-1）²-4k（k+1）=-12k+4≥0，
解得，k≤

1

3

，
所以，k≤

1

3

且k≠0，
綜上所述，k的取值范圍是k≤

1

3

；
故選A．

點評：主要考查二次函數和一元二次方程的關系，滲透分類討論思想．