Question

已知函數y=kx²-2x+（k是常數）
（1）若該函數的圖象與x軸只有一個交點，求k的值；
（2）若點M（1，k）在某反比例函數的圖象上，要使該反比例函數和二次函數y=kx²-2x+都是y隨x的增大而增大，求k應滿足的條件以及x的取值范圍；
（3）設拋物線y=kx²-2x+與x軸交于A（x₁，0），B（x₂，0）兩點，且x₁＜x₂，x₁²+x₂²=1．在y軸上，是否存在點P，使△ABP是直角三角形？若存在，求出點P及△ABP的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）若k=0，則y=-2x+是一次函數，與x軸只有一個交點，滿足條件；
若k≠0，則y=kx²-2x+（k≠0）是二次函數，
由△=b²-4ac=4-6k=0，得k=．
∴k=0或．


（2）設反比例函數解析式為：y=，
∵點M（1，k）在反比例函數圖象上，
∴m=k．
∴y=．
由反比例函數的性質可知，當y隨x的增大而增大時，須滿足條件：k＜0，x≠0．
二次函數y=kx²-2x+，拋物線開口向下，其對稱軸為直線x=，
當y隨x的增大而增大時，須滿足條件：k＜0，x＜．
綜上所述，要使該反比例函數和二次函數都是y隨x的增大而增大，須滿足條件：k＜0，x＜．


（3）存在．
拋物線解析式為：y=kx²-2x+，
令y=0，即kx²-2x+=0，
∴x1+x2=，x1x2=．
∵x₁²+x₂²=1，
∴（x₁+x₂）²-2x₁x₂=1，即：（）²-2•=1
整理得：k²+3k-4=0，
解得：k=-4或k=1．
又∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴△=4-6k＞0，解得k＜，
∴k=1不符合題意，舍去，∴k=-4．
∴拋物線的解析式為：y=-4x²-2x+=-4（x+）²+．
令y=0，解得x=，
∴A（，0），B（，0）．
畫出函數大致圖象如下，則OA=，OB=，AB=．

以AB為直徑作圓，由圖象可見，圓與y軸的交點有2個，因此所求的點P有兩個．
連接PA、PB，易證△PAO∽△BPO，
∴，
∴OP²=OA•OB=×=，∴OP=．
S_△ABP=AB•OP=××=．
綜上所述，存在兩個滿足條件的點P．點P的坐標為（0，）或（0，-），△ABP的面積為．
分析：（1）本問注意分類討論：若k=0，函數為一次函數；若k≠0，函數為二次函數，根據其△=0求解即可；
（2）根據反比例函數和二次函數的增減性，綜合確定k應滿足的條件和x的取值范圍；
（3）由題意，首先根據一元二次方程根與系數關系，求出k的值；從而得到拋物線的解析式，畫出拋物線的大致圖象，以AB為直徑作圓，圓與y軸的兩個交點即為所求之點P；最后利用相似三角形求出點P的坐標和△ABP的面積．
點評：本題是二次函數綜合題型，考查了二次函數的圖象與性質、反比例函數、一元二次方程、根與系數關系、根的判別式、相似三角形等知識點，有一定的難度．第（1）問中，須分一次函數、二次函數進行討論；第（3）問中，滿足條件的點P有兩個，容易漏解．可見分類討論思想是本題考查重點，也是易失分點．