Question

已知：在△ABC中，D為BC邊上一點，B，C兩點到直線AD的距離相等．

（1）如圖1，若△ABC是等腰三角形，AB=AC，則點D的位置在點D為線段BC的中點；

（2）如圖2，若△ABC是任意一個銳角三角形，猜想點D的位置是否發生變化，請補全圖形并加以證明；

（3）如圖3，當△ABC是直角三角形，∠A=90°，并且點D滿足（2）的位置條件，用等式表示線段AB，AC，AD之間的數量關系并加以證明．

Answer 1

【考點】全等三角形的判定與性質．

【分析】（1）點D為線段BC的中點，根據線段的中點即可解答；

（2）點D的位置沒有發生變化；作BE⊥AD于點E，CF⊥AD于點F，證明△BED≌△CFD，得到BD=DC．即點D是BC邊的中點；

（3）AB，AC，AD之間的數量關系為AC²+AB²=4AD²．如圖2，延長AD到點H使DH=AD，連接HC．證明△ABD≌△HCD，得到∠1=∠3，AB=CH．再證明∠ACH=90°，得到AC²+CH²=AH²．由DH=AD，得到AC²+AB²=（2AD）²．即可解答．

【解答】解：（1）∵點D為BC邊的中點，

∴BD=CD，

故答案為：點D為線段BC的中點；

（2）點D的位置沒有發生變化，

證明：如圖1，作BE⊥AD于點E，CF⊥AD于點F，

∵BE⊥AD于點E，CF⊥AD于點F，

∴∠3=∠4=90°，

在△BED和△CFD中，

∴△BED≌△CFD．

∴BD=DC．即點D是BC邊的中點．

（3）AB，AC，AD之間的數量關系為AC²+AB²=4AD²．

證明：如圖2，延長AD到點H使DH=AD，連接HC．

∵點D是BC邊的中點，

∴BD=DC．

 在△ABD和△HCD中，

∴△ABD≌△HCD．

∴∠1=∠3，AB=CH．

∵∠A=90°，

∴∠1+∠2=90°．

∴∠2+∠3=90°．

∴∠ACH=90°．

∴AC²+CH²=AH²．

又∵DH=AD，

∴AC²+AB²=（2AD）²．

∴AC²+AB²=4AD²．

【點評】本題考查了全等三角形的性質定理與判定定理、勾股定理的應用，解決本題的關鍵是作出輔助線，構建全等三角形．