Question

【題目】如圖，在中，，，．動點、分別從點、點同時出發(fā)，相向而行，速度都為．以為一邊向上作正方形，過點作，交于點．設(shè)運動時間為，單位：，正方形和梯形重合部分的面積為．

當(dāng)時，點與點重合．

當(dāng)時，點在上．

當(dāng)點在，兩點之間（不包括，兩點）時，求與之間的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）當(dāng)點在，兩點之間（不包括，兩點）時，與之間的函數(shù)關(guān)系式為：．

【解析】

（1）當(dāng)點P與點Q重合時，此時AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，由此列一元一次方程求出t的值；

（2）當(dāng)點D在QF上時，如圖1所示，此時AP=BQ=t．由相似三角形比例線段關(guān)系可得PQ=t，從而由關(guān)系式AP+PQ+BQ=AB=2，列一元一次方程求出t的值；

（3）當(dāng)點P在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點）時，運動過程可以劃分為兩個階段：

①當(dāng)1＜t≤時，如答圖3所示，此時重合部分為梯形PDGQ．先計算梯形各邊長，然后利用梯形面積公式求出S；

②當(dāng)＜t＜2時，如答圖4所示，此時重合部分為一個多邊形．面積S由關(guān)系式“S=S正方形APDE﹣S△AQF﹣S△DMN”求出．

（1）當(dāng)點P與點Q重合時，AP=BQ=t，且AP+BQ=AB=2，∴t+t=2，解得：t=1s．

故答案：1．

（2）當(dāng)點D在QF上時，如圖1所示，此時AP=BQ=t．

∵QF∥BC，APDE為正方形，∴△PQD∽△ABC，∴DP：PQ=AC：AB=2，則PQ=DP=AP=t．

由AP+PQ+BQ=AB=2，得：t+t+t=2，解得：t=．

故答案：．

（3）當(dāng)P、Q重合時，由（1）知，此時t=1；

當(dāng)D點在BC上時，如答圖2所示，此時AP=BQ=t，BP=t，求得t=s，進(jìn)一步分析可知此時點E與點F重合；

當(dāng)點P到達(dá)B點時，此時t=2．

因此當(dāng)P點在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點）時，其運動過程可分析如下：

①當(dāng)1＜t≤時，如答圖3所示，此時重合部分為梯形PDGQ．

此時AP=BQ=t，∴AQ=2﹣t，PQ=AP﹣AQ=2t﹣2；

易知△ABC∽△AQF，可得AF=2AQ，EF=2EG，∴EF=AF﹣AE=2（2﹣t）﹣t=4﹣3t，EG=EF=2﹣t，∴DG=DE﹣EG=t﹣（2﹣t）=t﹣2．

S=S梯形PDGQ=（PQ+DG）PD=[（2t﹣2）+（t﹣2）]t=t2﹣2t；

②當(dāng)＜t＜2時，如答圖4所示，此時重合部分為一個多邊形．

此時AP=BQ=t，∴AQ=PB=2﹣t，易知△ABC∽△AQF∽△PBM∽△DNM，可得AF=2AQ，PM=2PB，DM=2DN，∴AF=4﹣2t，PM=4﹣2t．

又∵DM=DP﹣PM=t﹣（4﹣2t）=3t﹣4，∴DN=（3t﹣4）=t﹣2，DM=3t﹣4．

S=S正方形APDE﹣S△AQF﹣S△DMN=AP2﹣AQAF﹣DNDM

=t2﹣（2﹣t）（4﹣2t）﹣×（3t﹣4）×（3t﹣4）

=﹣t2+10t﹣8．

綜上所述：當(dāng)點P在Q，B兩點之間（不包括Q，B兩點）時，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：S=．