Question

如圖，正ABC中，P為正三角形內任意一點，過P作PD⊥BC、PE⊥AB，PF⊥AC，連AP、BP、CP，如果S_△AFP+S_△PCD+S_△BPE=，那么△ABC的內切圓半徑為（ ）

A．1
B．
C．2
D．

Answer 1

【答案】分析：過P點作正三角形的三邊的平行線，于是可得△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，四邊形ASPM，四邊形NCOP，四邊形PQBR是平行四邊形，故可知黑色部分的面積=白色部分的面積，于是求出三角形ABC的面積，進而求出等邊三角形的邊長和高，再根據等邊三角形的內切圓的半徑等于高的三分之一即可求出半徑的長度．
解答：解：過P點作正三角形的三邊的平行線，
于是可得△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，
四邊形ASPM，四邊形NCDP，四邊形PQBR是平行四邊形，
故可知黑色部分的面積=白色部分的面積，
又知S_△AFP+S_△PCD+S_△BPE=，
故知S_△ABC=3，
S_△ABC=AB²sin60°=3，
故AB=2，
三角形ABC的高h=3，
△ABC的內切圓半徑r=h=1．
故選A．
點評：本題主要考查面積及等積變換的知識點，解答本題的關鍵是過P點作三角形三邊的平行線，證明黑色部分的面積與白色部分的面積相等，此題有一定難度．