Question

如圖，正△ABC中，P為正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，過P作PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC連結(jié)AP、BP、CP，如果S△APF+S△BPE+S△PCD=

3 3

2

，那么△ABC的內(nèi)切圓半徑為（　　）

• A．1
• B．

  3

• C．2
• D．

  3

  2

Answer 1

分析：過P點(diǎn)作正△ABC的三邊的平行線，可得△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，四邊形ASPM，四邊形NCOP，四邊形PQBR是平行四邊形，故可知黑色部分的面積=白色部分的面積，于是求出三角形ABC的面積，進(jìn)而求出等邊三角形的邊長和高，再根據(jù)等邊三角形的內(nèi)切圓的半徑等于高的三分之一即可求出半徑的長度．

解答：解：如圖，過P點(diǎn)作正△ABC的三邊的平行線，則△MPN，△OPQ，△RSP都是正三角形，四邊形ASPM，四邊形NCOP，四邊形PQBR是平行四邊形，
故可知黑色部分的面積=白色部分的面積，
又知S_△AFP+S_△PCD+S_△BPE=

3 3

2

，故知S_△ABC=3

3

，
S_△ABC=

1

2

AB²sin60°=3

3

，
故AB=2

3

，三角形ABC的高h(yuǎn)=3，
△ABC的內(nèi)切圓半徑r=

1

3

h=1．
故選A．

點(diǎn)評：本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，面積及等積變換，解答本題的關(guān)鍵是過P點(diǎn)作三角形三邊的平行線，證明黑色部分的面積與白色部分的面積相等，此題有一定難度．