Question

如圖，雙曲線與直線l：y=-kx+b（k＞0，b＞0）有且只有一個公共點A，AC⊥x軸于C，直線l交x軸于點B．
（Ⅰ）求點A的橫坐標；
（Ⅱ） 已知△ABC的面積等于1，若有一動點從原點開始移動，假定其每次只能向上或向右移動1個單位長度（向上和向右的可能性相同）．求3次移動后，該點在直線l上的概率．

Answer 1

【答案】分析：（1）先聯立一次函數與反比例函數的解析式即可得出關于x的一元二次方程，再根據△=0即可得出b=2k，把b=2k代入關于x的一元二次方程即可得出x的值，進而得出A點的橫坐標；
（2）由b=2k可得出直線l的方程，故可得出B點坐標，由S_△ABC=AC•BC=1可得出k的值，故可得出直線l的方程，列舉出動點從原點出發每次向上或向右移動1個單位移動三次時所有可能的結果，再求出該點在直線l上的概率即可．
解答：解：（Ⅰ）聯立，得 kx²-bx+k=0．
∵雙曲線與直線有且只有一個公共點A，
∴△=b²-4k²=0，即b²=4k²，
∵b＞0，k＞0，
∴b=2k，
∴kx²-2kx+k=0，k（x-1）²=0．
解得：x=1，即A點橫坐標為1；

（Ⅱ）∵b=2k，
∴直線l的方程為y=-kx+2k，
令y=0得：l與x軸交點B為（2，0），
∴OB=2．
又∵A（1，k），AC⊥x軸，
∴OC=1，AC=k，BC=2-1=1．
又∵S_△ABC=AC•BC=1，即•k•1=1，解得：k=2．
∴直線l的方程為 y=-2x+4，
∴動點從原點出發每次向上或向右移動1個單位，有8種可能結果：（右，右，右）、（右，右，上）、（右，上，右）、（右，上，上），（上，右，右）、（上，右，上）、（上，上，右）、（上，上，上）．
其對應的坐標分別是：（3，0）、（2，1）、（2，1）、（1，2）、（2，1）、（1，2）、（1，2）、（0，3）．
其中恰好在直線l：y=-2x+4上的共有3種，
∴該點在直線l上的概率P=．
點評：本題考查的是反比例函數綜合題及概率公式、一元二次方程根的判別式，先根據題意得出b與k的關系是解答此題的關鍵．