Question

【題目】（1）如圖1，已知CE⊥AB，BF⊥AC，垂足分別為E、F，CE與BF相交于點D，且AD平分∠BAC．求證：CE=BF．

（2）如圖2，AD是△ABC的角平分線，AE=AC，EF∥BC交AC于F點，求證：EC平分∠DEF．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】

（1）先證DE=DF，再證明△BDE≌△CDF，即可得出結論；

（2）根據等腰三角形的三線合一性質得出AD垂直平分CE，根據線段垂直平分線的性質得出CD=CE，得出角相等，再由平行線證出內錯角相等，即可得出結論．

（1）證明：∵AD平分∠BAC，CE⊥AB，BF⊥AC，

∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，

在△BDE和△CDF中，

，

∴△BDE≌△CDF（ASA），

∴BD=CD，

∴BD+DF=CD+DE，

∴CE=BF；

（2）證明：∵AD是△ABC的角平分線，AE=AC，

∴AD垂直平分CE，

∴CD=CE，

∴∠DEC=∠DCE，

∵EF∥BC，

∴∠FEC=∠DCE，

∴∠FEC=∠DEC，

∴EC平分∠DEF．