Question

【題目】如圖，AC是矩形ABCD的對角線，⊙O是△ABC的內切圓，現將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG．點F，G分別在邊AD，BC上，連結OG，DG．若OG⊥DG，且⊙O的半徑長為1，則下列結論不成立的是（　　）

A.BC﹣AB＝2B.AC＝2ABC.AF＝CDD.CD+DF＝5

Answer 1

【答案】C

【解析】

如圖，設⊙O與BC的切點為M，連接MO并延長MO交AD于點N，根據折疊的性質得到OG＝DG，根據全等三角形的性質得到OM＝GC＝1，CD＝GM＝BC﹣BM﹣GC＝BC﹣2即可判斷A；設AB＝a，BC＝b，AC＝c，⊙O的半徑為r，推出⊙O是Rt△ABC的內切圓可得r＝（a+b﹣c），根據勾股定理得到BC+AB＝2+4，AC＝＝2（1+），即可判斷B；再設DF＝x，在Rt△ONF中，FN＝3+﹣1﹣x，OF＝x，ON＝1+﹣1，由勾股定理可得x＝4﹣，即可判斷D和C．

解：如圖，設⊙O與BC的切點為M，連接MO并延長MO交AD于點N，

∵將矩形ABCD按如圖所示的方式折疊，使點D與點O重合，折痕為FG，

∴OG＝DG，

∵OG⊥DG，

∴∠MGO+∠DGC＝90°，

∵∠MOG+∠MGO＝90°，

∴∠MOG＝∠DGC，

在△OMG和△GCD中，

，

∴△OMG≌△GCD，（AAS），

∴OM＝GC＝1，CD＝GM＝BC﹣BM﹣GC＝BC﹣2．

∵AB＝CD，

∴BC﹣AB＝2．故A正確；

設AB＝a，BC＝b，AC＝c，⊙O的半徑為r，

⊙O是Rt△ABC的內切圓可得r＝（a+b﹣c），

∴c＝a+b﹣2．

在Rt△ABC中，由勾股定理可得a2+b2＝（a+b﹣2）2，

整理得2ab﹣4a﹣4b+4＝0，

又∵BC﹣AB＝2即b＝2+a，代入可得2a（2+a）﹣4a﹣4（2+a）+4＝0，

解得a1＝1﹣（舍去），a2＝1+，

∴BC+AB＝2+4，

∴AB＝1+，BC＝3+，

∴AC＝＝2（1+），

∴AC＝2AB；故B正確；

再設DF＝x，在Rt△ONF中，FN＝3+﹣1﹣x=2+﹣x，OF＝x，ON＝1+﹣1=，

由勾股定理可得（2+﹣x）2+（）2＝x2，

解得x＝4﹣，

∴CD﹣DF＝+1﹣（4﹣）＝2﹣3，CD+DF＝+1+4﹣＝5，故D正確；

∴AF＝AD﹣DF＝2﹣1，

∴AF≠CD，故C錯誤；

故選：C．