Question

如圖，點C是半圓O的半徑OB上的動點，作PC⊥AB于C．點D是半圓上位于PC左側的點，連接BD交線段PC于E，且PD=PE．
（1）求證：PD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為4

3

，PC=8

3

，設OC=x，PD²=y．
①求y關于x的函數關系式；
②當x=

3

時，求tanB的值．

Answer 1

分析：（1）要證PD是⊙O的切線只要證明∠PDO=90°即可；
（2）①分別用含有x，y的式子，表示OP²和PD²這樣便可得到y關于x的函數關系式；
②已知x的值，則可以根據關系式求得PD的值，已PC的值且PD=PE，從而可得到EC，BE的值，這樣便可求得tanB的值．

解答：（1）證明：連接OD．
∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．                
∵PD=PE，∴∠PDE=∠PED．                
∠PDO=∠PDE+∠ODE
=∠PED+∠OBD
=∠BEC+∠OBD
=90°，
∴PD⊥OD．                            
∴PD是⊙O的切線．                       

（2）解：①連接OP．
在Rt△POC中，
OP²=OC²+PC²=x²+192．                    
在Rt△PDO中，
PD²=OP²-OD²=x²+144．
∴y=x²+144（0≤x≤4

3

）．             
（x取值范圍不寫不扣分）
②當x=

3

時，y=147，
∴PD=7

3

，（8分）
∴EC=

3

，
∵CB=3

3

，
∴在Rt△ECB中，tanB=

CE

CB

=

3

3 3

=

1

3

．

點評：此題考查了學生對切線的判定及綜合解直角三角形的能力．