Question

如圖，點A是半圓上的一個三等分點，點B是弧AN的中點，點P是直徑MN上一個動點，圓O的半徑為1，
（1）找出當AP+BP能得到最小值時，點P的位置，并證明
（2）求出AP+BP最小值．

Answer 1

分析：（1）本題是要在MN上找一點P，使PA+PB的值最小，根據“兩點之間線段最短”，設A′是A關于MN的對稱點，連接A′B，與MN的交點即為點P；
（2）可證△OA′B是等腰直角三角形，從而得出結果．

解答：（1）證明：過A作AA′⊥MN于E，連接BA′．

∵MN過圓心O，
∴AE=EA′，
∴AP=PA′，即AP+BP=PA′+BP，
根據兩點間線段最短，當A′，P，B三點共線時，PA′+BP=BA'，
AP+BP此時為最小值，
∴P位于A′B與MN的交點處；
（2）解：∵點A是半圓上的一個三等分點，
∴∠AON=∠A'ON=60°，
∵點B是弧AN的中點，
∴

AB

=

BN

，
∴∠BON=30°，
∴∠BOA'=∠A'ON+∠BON=90°，
∵OB=OA=1，
∴BA′=

2

，即AP+BP最小值為

2

．

點評：本題考查軸對稱-最短路徑問題，正確確定P點的位置是解題的關鍵，確定點P的位置這類題在課本中有原題，因此加強課本題目的訓練至關重要．