Question

扇形AOB中，OA、OB是半徑，且∠AOB=90°，OA=6，點C是AB上異于A、B的動點。過點C作CD⊥OA于點D，作CE⊥OB于點E，連接DE，點G、H在線段DE上，且DG=GH=HE.
（1）求證：OG=CH；
（2）當點C在AB上運動時，線段DE的長是否為定值？若為定值，請求出該值；否則，請說明理由；
（3）設CH，CD，求與之間的函數關系式.

Answer 1

（1）證明：如右圖，∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠ODC=∠OEC=90°
又∵∠AOB=90°，∴四邊形OECD是矩形。
∴OD=EC，且OD//EC，∴∠ODG=∠CEH
∵DG=EH，∴△ODG≌△CEH，
∴OG=CH.   
  （2）解：線段DE的長度是定值。
連接OC,點C是AB上的點，OA=6。∴OC=OA=6
∵四邊形OECD是矩形，∴ DE=OC=6
（3）解：如圖，過點H作HF⊥CD于點F，

∵EC⊥CD，∴HF//EC
∴△DHF∽△DEC， ∴，∴
從而CF=CD－FD
在Rt△CHF中，CH=HF+CF，∴
在Rt△HFD中，HF=DH－DF=
∴ 
∴

(1)先證得四邊形OECD是矩形.再有DG=EH,即可得到△ODG≌△CEH，從而OG=CH；
(2)連接矩形OECD的對角線OC,根據矩形的對角線相等,可得DE=OC=6；
(3)過點H作HF⊥CD,得到△DHF∽△DEC,根據對應邊成比例,得到DF,從而得到CF，在Rt△CHF和在Rt△HFD中利用勾股定理即可表示出與之間的函數關系式。