Question

己知：如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE與BD交于點G．

（1）求證：BE=DF；
（2）當時，求證：四邊形BEFG是平行四邊形．

Answer 1

證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，
∵∠BAF=∠DAE，∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF，即：∠BAE=∠DAF。
∴△BAE≌△DAF（ASA）。∴BE=DF。
（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC。∴△ADG∽△EBG。∴。
又∵BE="DF" ，，∴。∴GF∥BC。
∴∠DGF=∠DBC=∠BDC。∴DF=GF。
又∵BE="DF" ，∴BE=GF。∴四邊形BEFG是平行四邊形。

（1）由菱形的性質和∠BAF=∠DAE，證得△ABF與△AFD全等后即可證得結論。（2）由AD∥BC證得△ADG∽△EBG，從而；由和BE=DF即可得證得。從而根據平行線分線段成比例定理證得FG∥BC，進而得到∠DGF=∠DBC=∠BDC，根據等腰三角形等角對等邊的判定和BE="DF" ，證得BE=GF。利用一組對邊平行且相等即可判定平行四邊形。