Question

如圖，直線y₁=mx+4與x軸、y軸分別交于A點、B點，且與反比例函數y₂=在第一象限的圖象有唯一的公共點P，若S_△OAB=4，則k=    ．

Answer 1

【答案】分析：對于一次函數y₁=mx+4，令x=0求出y的值，確定出B的坐標，進而確定出OB的長，由三角形AOB的面積等于兩直角邊OA與OB乘積的一半，根據OB與已知的面積求出OA的長，進而確定出A的坐標，將A的坐標代入一次函數解析式中求出m的值，確定出一次函數解析式，將一次函數解析式與反比例解析式聯立組成方程組，消去y得到關于x的一元二次方程，根據兩函數有唯一的交點P，得到根的判別式的值等于0，列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．
解答：解：對于直線y₁=mx+4，
令x=0，解得：y=4，故B（0，4），即OB=4，
∵S_△OAB=OA•OB=×4OA=4，
∴OA=2，即A（2，0），
將A坐標代入y₁=mx+4得：0=2m+4，即m=-2，
∴y₁=-2x+4，
將兩函數解析式聯立得：，
消去y得：-2x+4=，即2x²-4x+k=0，
∵兩函數在第一象限的圖象有唯一的公共點P，
∴b²-4ac=16-8k=0，
解得：k=2．
故答案為：2
點評：此題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，涉及的知識有：待定系數法確定函數解析式，坐標與圖形性質，以及三角形面積公式，待定系數法是數學中重要的思想方法，學生做題時注意靈活運用．