Question

如圖，已知BC是以AB為直徑的⊙的切線，且BC=AB，連接OC交⊙O于點D，延長AD交BC于點E，F為BE上一點，且DF=FB．

（1）求證：DF是⊙O的切線；

（2）若BE=2，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：連接BD，

∵BC是⊙O的切線，AB是直徑，

∴AB⊥BC，

∴∠BFD+∠OBD=90°，

∵DF=FB，

∴∠FDB=∠FBD，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD，

∴∠FDB+∠ODB=∠FBD+∠OBD=90°，

∴OD⊥DF，

∴DF是圓的切線；

（2）解：∵AB是圓的直徑，

∴∠ADB=90°，∠FDB+∠FDE=∠FBD+∠FED=90°，

∵∠FDB=∠FBD，

∴∠FDE=∠FED，

∴FD=FE=FB，

在直角△OBC中，tanC===，

在直角△CDF中，tanC=，

∴=，

∵DF=1，

∴CD=2，

在直角△CDF中，由勾股定理可得：CF=，

∴OB=BC=，

∴⊙O的半徑是．