Question

如圖1，扇形AOB中，∠AOB=120°，C為半徑OA上一點，CD∥OB，交

AB

于D點．
（1）當CD=6，AC=1時，直接寫出半徑OB的長，以及CD與OB的大小關系；
（2）在圖1中畫出以OA，OB為鄰邊的菱形AOBE，并說明E點的位置；（不要求寫菱形AOBE的畫法）
（3）若將圖1中扇形的圓心角∠AOB改為105°（如圖2），C仍為半徑OA上一點（C點不與O，A兩點重合），CD∥OB，交

AB

于D點，在圖2中畫圖說明滿足CD≤OB時D點運動的范圍．

Answer 1

分析：（1）過點O作OE⊥CD，連接OD，設OC=x，則可得出CE，DE的長，然后結合CE+DE=CD=6，可解出x的值，繼而可得出半徑的長，也可比較CD與OB的大小關系；
（2）根據∠AOB=120°，可知△AOE為等邊三角形，即OA=OE，從而判斷出點E在扇形上，然后結合菱形的性質，可得出點E的位置；
（3）畫出圖形，結合菱形與扇形的交點即可作出判斷．

解答：解：（1）

過點O作OE⊥CD，連接OD，則∠OCE=180°-∠AOB=60°，
設OC=x，則OA=x+1，
在RT△OCE中，CE=OCcos∠OCE=

x

2

，
在RT△OED中，ED=

OD2-OE2

=

x2 4 +2x+1

，
又∵CD=6，
∴CE+DE=6，即

x

2

+

x2 4 +2x+1

=6，
解得：x=

35

8

，故可得半徑OB=OA=x+1=5

3

8

，CD＞OB．

（2）∵∠AOB=120°，四邊形AOBE是菱形，
∴△AOE是等邊三角形，OA=OE，即點E在扇形OAB上，
∴AE=EB，
故可得，E點的位置是

AB

的中點．
所畫菱形AOBE見圖：


（3）畫出以OA，OB為鄰邊的菱形AOBE，可知AE，BE與

AB

相交，設交點分別為G點，H點，則D點運動的范圍是

GH

，且D點不與G點重合，可與H點重合．

點評：此題屬于圓的綜合題，涉及了菱形的性質及勾股定理的知識，解答本題的關鍵是熟練掌握菱形四邊相等的性質，第一問注意利用CD的長度建立方程，難度一般．