Question

為了抓住國家降低汽車購置稅，刺激汽車消費的大好機遇，實現新的發展，汽車生產企業策劃部擬定了以下兩種新的投資方案．方案一：生產家用型汽車，每輛汽車成本為a萬元（a為常數，且3＜a＜8），每輛汽車銷售價為10萬元，每年最多可生產200輛；方案二：生產豪華型汽車，每輛汽車成本為8萬元，每輛汽車銷售價為18萬元，每年最多可生產120輛．假設生產汽車的輛數為x（x為正整數），且生產的汽車可全部售出，又已知年銷售x輛豪華型汽車時需上交0.05x²萬元的附加稅．在不考慮其他因素的情況下：
（1）分別寫出該企業兩個投資方案的年利潤y₁、y₂與生產汽車輛數x之間的函數關系式，并指出自變量的取值范圍；
（2）分別求出這兩個投資方案的最大年利潤；
（3）如果你是企業決策者，為了獲得最大收益，你會選擇哪種投資方案？

Answer 1

解：（1）y₁=（10-a）x （0≤x≤200）
y₂=10x-0.05x² （0≤x≤120）
（2）方案一：∵10-a＞0，則當x=200時，年利潤最大，是200（10-a）；
方案二：x=-=-=100，則當x=100時，利潤最大，是：10×100-0.05×100²=500（萬元）．
（3）當200（10-a）＞500時，a＜7.5，則3＜a＜7.5時，選擇方案一；
當200（10-a）=500時，a=7.5，兩種方案相同；
當200（10-a）＜500時，a＞7.5，則7.5＜a＜8時，選擇方案二．
分析：（1）利用汽車的輛數乘以每輛的利潤，即售價與成本的差，即可求得；
（2）根據兩個函數的性質求兩個函數的最大值即可；
（3）根據（2）中得到的利潤的值，進行比較，求得a的范圍，從而根據a的值確定選擇哪種方案．
點評：此題屬于一次函數的應用題，考查數列模型的構建，考查利用數學知識解決實際問題，解題的構建是確定數列模型．