Question

如圖，已知直角三角形ABC，
（Ⅰ）試作出經過點A，圓心O在斜邊AB上，且與邊BC相切于點E的⊙O及切點E和圓心O（要求：用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）；
（Ⅱ）設（Ⅰ）中所作的⊙O與邊AB交于異于點A的另一點D．
求證：
（1）；
（2）EC•BE=AC•BD．

Answer 1

（Ⅰ）解：如圖所示；

（Ⅱ）證明：連接DE，則∠AED=90°，
（1）∵∠4=∠2
∠B=∠B
∴△BDE∽△BEA
∴；

（2）∵BC切⊙O于E，
∴OE⊥BC．
又∵AC⊥B，
∴OE∥AC．
∴∠1=∠3．
又易知∠2=∠3，
∴∠1=∠2．
又∵∠C=∠AED=90°，
∴Rt△ACE∽Rt△AED．
∴．
又由（Ⅰ）知，，，
∴EC•BE=AC•BD．
分析：（Ⅰ）作∠BAC的角平分線AE交BC與E，過E點作EO垂直于BC，交AB與O，O即為所求圓心；
（Ⅱ）（1）要證，由組成線段可知只需證明△BDE∽△BEA即可，而∠B為共用角，∠1為弦切角∠4所夾的弧所對的圓周角所以相等，因此有△BDE∽△BEA，即；
（2）要證EC•BE=AC•BD即證，由（1）知，所以需證，即Rt△ACE∽Rt△AED，而在這兩個三角形中，都有一個直角，且易證∠1=∠3=∠2，所以可證相似，從而得出所求結論．
點評：此題主要考查了三角形相似和圓之間的關系，難易程度適中．