Question

27、如圖1，點E、F在正方形ABCD的邊BC、CD上，且AE⊥BF于G．

（1）AE與BF相等嗎？請說明理由；
（2）運用圖形的平移、旋轉方法，分析說明△ABE和△BCF可以通過怎樣的平移和旋轉而相互得到如圖1，點H、E、F、L在正方形ABCD的邊上，且LE⊥HF于G，圖2通過怎樣的方法可以得到圖1，從而分析說明LE與HF相等．

Answer 1

分析：（1）先求證△ABE≌△BCF，再證明AE=BF；
（2）△ABE和△BCF在旋轉時，確定一個三角形旋轉后的位置，除需要此三角形原來的位置外，還需要的條件是旋轉軸，旋轉方向，旋轉角．

解答：求證：（1）AE=BF
證明：在Rt△ABE中，∠BAE+∠BEA=90°，
∵AE⊥BF，
∴△BGE是直角三角形，
∴∠FBE+∠BEA=90°，
∴∠FBE=∠BAE，
又∵BC=AC，
∴Rt△FBC≌Rt△EAB，
∴AE=BF，
∴AE與BF相等．

（2）答：△ABE先向右平移至點E與點C重合，再以AB為軸逆時針旋轉90°后得到△BCF；△BCF向左平移至點C與點B重合后，再以BF為軸順時針旋轉90°后得到△ABE．
線段LE向左平移至點L與點A重合，線段HF向下平移點H與點B重合，按這種方法就可以得到上圖．
LE與HF平移后，就是圖中AE和BF，由（1）證明得AE=BF，所以LE=HF．

點評：（1）解答本題的難點是△ABE≌△BCF，所以，在突破難點時，充分并合理的利用正方形的性質（四個角都是直角，四條邊都相等）來證明△ABE≌△BCF；
（2）本題考查圖形的平移變換．關鍵是要懂得左右平移點的縱坐標不變，而上下平移時點的橫坐標不變．