Question

如圖1，點A、D在y軸正半軸上，點B、C分別在x軸上，CD平分∠ACB與y軸交于D點，∠CAO=90°-∠BDO．
（1）求證：AC=BC；

（2）如圖2，點C的坐標為（4，0），點E為AC上一點，且∠DEA=∠DBO，求BC+EC的長；

（3）在（1）中，過D作DF⊥AC于F點，點H為FC上一動點，點G為OC上一動點，（如圖3），當H在FC上移動、點G點在OC上移動時，始終滿足∠GDH=∠GDO+∠FDH，試判斷FH、GH、OG這三者之間的數量關系，寫出你的結論并加以證明．

Answer 1

分析：（1）由題意∠CAO=90°-∠BDO，可知∠CAO=∠CBD，CD平分∠ACB與y軸交于D點，所以可由AAS定理證明△ACD≌△BCD，由全等三角形的性質可得AC=BC；
（2）過D作DN⊥AC于N點，可證明Rt△BDO≌Rt△EDN、△DOC≌△DNC，因此，BO=EN、OC=NC，所以，BC+EC=BO+OC+NC-NE=2OC，即可得BC+EC的長；
（3）在x軸的負半軸上取OM=FH，可證明△DFH≌△DOM、△HDG≌△MDG，因此，MG=GH，所以，GH=OM+OG=FH+OG，即可證明所得結論．

解答：（1）證明：∵∠CAO=90°-∠BDO，
∴∠CAO=∠CBD．
在△ACD和△BCD中

∠ACD=∠BCD ∠CAO=∠CBD CD=CD

，
∴△ACD≌△BCD（AAS）．
∴AC=BC．

（2）解：由（1）知∠CAD=∠DEA=∠DBO，
∴BD=AD=DE，過D作DN⊥AC于N點，如右圖所示：
∵∠ACD=∠BCD，
∴DO=DN，
在Rt△BDO和Rt△EDN中

BD=DE DO=DN

，
∴Rt△BDO≌Rt△EDN（HL），
∴BO=EN．
在△DOC和△DNC中，

∠DOC=∠DNC=90° ∠OCD=∠NCD DC=DC

∴△DOC≌△DNC（AAS），
可知：OC=NC；
∴BC+EC=BO+OC+NC-NE=2OC=8．

（3）GH=FH+OG．
證明：由（1）知：DF=DO，
在x軸的負半軸上取OM=FH，連接DM，如右圖所示：
在△DFH和△DOM中

DF=DO ∠DFH=∠DOM=90° OM=FH

，
∴△DFH≌△DOM（SAS）．
∴DH=DM，∠1=∠ODM．
∴∠GDH=∠1+∠2=∠ODM+∠2=∠GDM．
在△HDG和△MDG中

DH=DM ∠GDH=∠GDM DG=DG

，
∴△HDG≌△MDG（SAS）．
∴MG=GH，
∴GH=OM+OG=FH+OG．

點評：本題主要考查了全等三角形的判定及其性質，做題時添加了輔助線，正確作出輔助線是解決問題的關鍵．