Question

如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，現在要在鐵路AB上建一個土特產品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等．
（1）E站應建在A站多少km處？
（2）求兩村與土特產品收購站圍成的三角形的面積．

Answer 1

分析：（1）根據使得C，D兩村到E站的距離相等，需要證明DE=CE，再根據△DAE≌△EBC，得出AE=BC=10km；
（2）利用△DAE≌△EBC，得出∠DEC=90°，利用直角三角形面積求法得出答案．

解答：解：（1）∵使得C，D兩村到E站的距離相等．
∴DE=CE，
∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，
∴∠A=∠B=90°，
∴AE²+AD²=DE²，BE²+BC²=EC²，
∴AE²+AD²=BE²+BC²，
設AE=x，則BE=AB-AE=（25-x），
∵DA=15km，CB=10km，
∴x²+15²=（25-x）²+10²，
解得：x=10，
∴AE=10km，

（2）∵△DAE≌△EBC，
∴∠DEA=∠ECB，∠ADE=∠CEB，
∠DEA+∠D=90°，
∴∠DEA+∠CEB=90°，
∴∠DEC=90°，
∵DE=

152+102

=5

13

，
∴兩村與土特產品收購站圍成的三角形的面積為：

1

2

×DE×EC=

325

2

平方千米．

點評：此題主要考查了勾股定理的應用和三角形全等的證明，證明線段相等利用全等得出△DAE≌△EBC是解決問題的關鍵．