Question

如圖，E是長方形ABCD的邊AB上的點，EF⊥DE交BC于點F

（1）求證：△ADE∽△BEF；

（2）設H是ED上一點，以EH為直徑作⊙O，DF與⊙O相切于點G，若DH=OH=3，求圖中陰影部分的面積（結果保留到小數點后面第一位，≈1.73，π≈3.14）．

Answer 1

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠B=90°．

∵EF⊥DE，

∴∠DEF=90°．

∴∠AED=90°﹣∠BEF=∠EFB．

∵∠A=∠B，∠AED=∠EFB，

∴△ADE∽△BEF．

 

（2）解：∵DF與⊙O相切于點G，

∴OG⊥DG．

∴∠DGO=90°．

∵DH=OH=OG，

∴sin∠ODG==．

∴∠ODG=30°．

∴∠GOE=120°．

∴S_扇形OEG==3π．

在Rt△DGO中，

cos∠ODG===．

∴DG=3．

在Rt△DEF中，

tan∠EDF===．

∴EF=3．

∴S_△DEF=DE•EF=×9×3=，

S_△DGO=DG•GO=×3×3=．

∴S_陰影=S_△DEF﹣S_△DGO﹣S_扇形OEG

=﹣﹣3π

=.9﹣3π

≈9×1.73﹣3×3.14

=6.15

≈6.2

∴圖中陰影部分的面積約為6.2．