Question

如下圖，△ABC內接于半圓，AB為直徑，過點A作直線MN，若∠MAC=∠ABC。
（1）求證：MN是半圓的切線；
（2）設D是弧AC的中點，連接BD交AC于G，過D作DE⊥AB于E，交AC于F，求證：FD=FG。

Answer 1

解：（1）∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠BCA=90°，
而∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠BCA=90°，
即∠MAB=90°，
∴MN是半圓的切線；
（2）連AD，如下圖，

∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
而DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∵∠ADE+∠EDB=90°，∠5+∠EDB=90°，
∴∠ADE=∠5，
∵D是弧AC的中點，即弧CD=弧CB，
∴∠3=∠4，
∵∠1=∠3+∠ADF，∠2=∠4+∠5，
∴∠1=∠5，
∴DF=DG。