Question

【題目】如圖，拋物線：與軸交于、兩點，與軸交于點，且，.若拋物線與拋物線關于直線對稱.

（1）求拋物線與拋物線的解析式：

（2）在拋物線上是否存在一點，在拋物線上是否存在一點，使得以為邊，且以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出、兩點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）：，：；（2）滿足條件的、兩點的坐標為：，；；

【解析】

（1）用待定系數法求拋物線的解析式并配方成頂點式，得到拋物線的頂點坐標D；由拋物線與拋物線關于直線x＝2對稱可得兩拋物線開口方向、大小相同，且兩頂點關于直線x＝2對稱，因此求得拋物線的頂點，進而得到拋物線的頂點式．
（2）由于BC為邊，以B、C、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形，所以有兩種情況：①BQ∥PC，BQ＝PC；②BP∥CQ，BP＝CQ．因為可把點B、C之間看作是向左（或右）平移3個單位，再向上（或下）平移3個單位得到，所以點P、Q之間也有相應的平移關系，故可由點P坐標（t，）的t表示點Q坐標，再把點Q坐標代入拋物線，解方程即求得t的值，進而求得點P、Q坐標．

解：（1）∵A（1，0）
∴OB＝OC＝3OA＝3
∴B（3，0），C（0，3）
∵拋物線：經過點A、B、C
∴
解得：
∴拋物線的解析式為

∴拋物線的頂點D（1，4）
∵拋物線與拋物線關于直線x＝2對稱
∴兩拋物線開口方向、大小相同，拋物線的頂點與點D關于直線x＝2對稱
∴（3，4）
∴拋物線的解析式為；
（2）存在滿足條件的P、Q，使得以BC為邊且以B、C、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形．
設拋物線上的P（t，）
①若四邊形BCPQ為平行四邊形，如圖，

∴BQ∥PC，BQ＝PC
∴BQ可看作是CP向右平移3個單位，再向下平移3個單位得到的
∴Q（t＋3，）
∵點Q在拋物線上
∴＝
解得：t＝2
∴P（2，3），Q（5，0）
②若四邊形BCQP為平行四邊形，如圖，

∴BP∥CQ，BP＝CQ
∴CQ可看作是BP向左平移3個單位，再向上平移3個單位得到的
∴Q（t3，）
∴
解得：t＝
∴，，

綜上所述，存在，；；，使得以BC為邊且以B、C、P、Q為頂點的四邊形為平行四邊形．