Question

【題目】（操作發現）

（1）如圖1，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，△ABC的三個頂點均在格點上．請按要求畫圖：將ABC繞點A順時針方向旋轉90°，點B的對應點為B′，點C的對應點為C′，連接BB′，此時∠ABB′等于多少度；

（問題解決）

在某次數學興趣小組活動中，小明同學遇到了如下問題：

（2）如圖2，在等邊△ABC中，點P在內部，且PA＝3，PC＝4，∠APC＝150°，求PB的長．

經過同學們的觀察、分析、思考、交流、對上述問題形成了如下想法：將△APC繞點A按順時針方向旋轉60°，得到△ABP’，連接PP′，尋找PA、PB、PC三邊之間的數量關系……請參考他們的想法，完成該問題的解答過程；

（學以致用）

（3）如圖3，在等邊△ABC中，AC＝7，點P在△ABC內，且∠APC＝90°，∠BPC＝120°．求△APC的面積；

（思維拓展）

如圖4，在四邊形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，∠BAE＝∠ADC，BE＝CE＝1，CD＝3，AD＝kAB（k為常數），請直接寫出BD的長（用含k的式子表示）．

Answer 1

【答案】【操作發現】（1）∠AB′B＝45°；【問題解決】（2）PB＝5；【學以致用】（3）S△APC＝7；【思維拓展】BD＝．

【解析】

（1）連接BB′，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉90°，則AB＝AB′，∠B′AB＝90°，即可得出答案；

（2）由∠ABC＝60°，將△APC繞點A按順時針方向旋轉60°，得到△ABP'，連接PP′，則△APP′是等邊三角形，∠APC＝∠AP′B＝150°，PC＝P′B＝4，得出∠AP′P＝60°，P′P＝AP＝3，∠PP′B＝90°，由勾股定理即可得出結果；

（3）將△APB繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到△AP′C′，連接PP′，則△APP′是等邊三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°90°120°＝150°，得出PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，推出PP′＝PC，即AP＝PC，由勾股定理得出AP2＋PC2＝AC2，即（PC）2＋PC2＝72，求出PC＝2，AP＝，由三角形面積公式即可得出結果；

（4）由等腰三角形的性質得出AB＝AC，將△ABD繞點A逆時針旋轉得到△ACG，連接DG．則BD＝CG，得出∠BAC＝∠DAG，∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，證出△ABC∽△ADG，得出BC＝2，DG＝kBC＝2k，證得∠GDC＝90°，得出CG＝，即可得出結果．

解：（1）連接BB′，將△ABC繞點A按順時針方向旋轉90°，如圖1所示：

∴AB＝AB′，∠B′AB＝90°，

∴∠AB′B＝45°，

故答案為：45°；

（2）∵△ABC是等邊三角形，

∴∠ABC＝60°，

將△APC繞點A按順時針方向旋轉60°，得到△ABP'，連接PP′，如圖2所示：

則△APP′是等邊三角形，∠APC＝∠AP′B＝150°，PC＝P′B＝4，

∴∠AP′P＝60°，P′P＝AP＝3，

∴∠PP′B＝90°，

∴PB＝；

（3）將△APB繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到△AP′C，連接PP′，如圖3所示：

則△APP′是等邊三角形，∠AP′C＝∠APB＝360°﹣90°﹣120°＝150°，

∴PP′＝AP，∠AP′P＝∠APP′＝60°，

∴∠PP′C＝90°，∠P′PC＝30°，

∴PP′＝PC，即AP＝PC，

∵∠APC＝90°，

∴AP2+PC2＝AC2，即（PC）2+PC2＝72，

∴PC＝2，

∴AP＝，

∴S△APC＝APPC＝××2＝7；

(4)∵AE⊥BC，BE＝EC，

∴AB＝AC，將△ABD繞點A逆時針旋轉得到△ACG，連接DG．則BD＝CG，如圖4所示：

∵∠BAD＝∠CAG，

∴∠BAC＝∠DAG，

∵AB＝AC，AD＝AG，

∴∠ABC＝∠ACB＝∠ADG＝∠AGD，

∴△ABC∽△ADG，

∵AD＝kAB，BE＝CE＝1，

∴BC＝2，DG＝kBC＝2k，

∵∠BAE+∠ABC＝90°，∠BAE＝∠ADC，

∴∠ADG+∠ADC＝90°，

∴∠GDC＝90°，

∴CG＝，

∴D＝CG＝．