Question

【題目】設二次函數y=-（x+1）（x-a）（a為正數）的圖象與x軸交于A、B兩點（A在B的左側），與y軸交于C點．直線l過M（0，m）（0＜m＜2且m≠1）且與x軸平行，并與直線AC、BC分別相交于點D、E．二次函數y=-（x+1）（x-a）的圖象關于直線l的對稱圖象與y軸交于點P．設直線PD與x軸交點為Q，則：

（1）求A、C兩點的坐標；

（2）求AD的值（用含m的代數式表示）；

（3）是否存在實數m，使CDAQ=PQDE？若能，則求出相應的m的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（-1，0），C（0，2），（2）AD=；（3）當a＞1時，才存在實數m使得△PQA∽△CDE，從而有CDAQ=PQDE，此時m=；當0＜a≤1時，不存在實數m使得CDAQ=PQDE．

【解析】

（1）分別令x=0和y=0代入y=-（x+1）（x-a）中可求得A、C兩點的坐標；

（2）如圖1，根據待定系數法求直線AC的解析式，表示點D的坐標，利用勾股定理可得AD的長；

（3）根據∠PQA=∠PDE，和CDAQ=PQDE，可知：△PQA∽△CDE，由對稱可知：△CDE≌△PDE，

△PQA∽△PDE，分兩種情況進行討論：

①當0＜m＜1時，點P在x軸下方，如圖2，

②當1＜m＜2時，如圖3，從相似入手，第一種情況不可能相似所以不成立，第二種情況根據相似列比例式可得m的值．

（1）當x=0時，y=-×1×（-a）=2，

∴點C的坐標為（0，2），

當y=0時，y=-（x+1）（x-a）=0，

∴x1=-1，x2=a，

∴點A坐標為（-1，0）；

（2）如圖1，設直線AC的解析式為：y=kx+b，

把A（-1，0），C（0，2）代入得：，

解得：，

∴直線AC的解析式為：y=2x+2，

∵DM∥x軸，且M（0，m），

∴D（，m），

由勾股定理得：AD==；

（3）∵l∥x軸，

∵∠PQA=∠PDE，

當CDAQ=PQDE，即，

則△PQA∽△CDE，

由對稱可知：△CDE≌△PDE，

∴△PQA∽△PDE，

分兩種情況：

①當0＜m＜1時，點P在x軸下方，如圖2，連接PA和PE，

此時∠PQA顯然為鈍角，

而∠PDE顯然為銳角，故此時不能有△PQA∽△CDE．

②當1＜m＜2時，如圖3，連接PA和PE，

∵M（0，m），

∴OM=m，

∴CM=2-m，

∵CM=PM=2-m，

∴OP=OM-PM=m-（2-m）=2m-2，

∵△APQ∽△EPD，

∴，

∵D（，m），P（0，2m-2），

易得DP的解析式為：y=-2x+2m-2，

當y=0時，-2x+2m-2=0，

x=m-1，

∴Q（m-1，0），

∴AQ=1+m-1=m，

∵B（a，0），C（0，2），

易得直線BC的解析式為：y=-x+2，

當y=m時，-x+2=m，

x=，

∴E（，m），

∴DE==，

∴，

∴m=，而此時1＜m＜2，

則應有1＜＜2，由此知a＞1．

綜上所述，當a＞1時，才存在實數m使得△PQA∽△CDE，從而有CDAQ=PQDE，此時m=；當0＜a≤1時，不存在實數m使得CDAQ=PQDE．