Question

【題目】（1）讀讀做做：平行線是平面幾何中最基本、也是非常重要的圖形．在解決某些平面幾何問題時，若能依據問題的需要，添加恰當的平行線，往往能使證明順暢、簡潔．請根據上述思想解決教材中的問題：如圖①，AB∥CD，則∠B+∠D　 　∠E（用“＞”、“＝”或“＜”填空）；

（2）倒過來想：寫出（1）中命題的逆命題，判斷逆命題的真假并說明理由．

（3）靈活應用：如圖②，已知AB∥CD，在∠ACD的平分線上取兩個點M、N，使得∠AMN＝∠ANM，求證：∠CAM＝∠BAN．

Answer 1

【答案】（1）=；（2）若∠B+∠D＝∠BED，則AB∥CD，該逆命題為真命題，見解析；（3）見解析

【解析】

(1）過E作EF∥AB，則EF∥AB∥CD，由平行線的性質得出∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，即可得出結論；

（2）過E作EF∥AB，則∠B＝∠BEF，證出∠D＝∠DEF，得出EF∥CD，即可得出結論；

（3）過點N作NG∥AB，交AM于點G，則NG∥AB∥CD，由平行線的性質得出∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，由三角形的外角性質得出∠AMN＝∠ACM+∠CAM，證出∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，得出∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，由角平分線得出∠ACM＝∠NCD，即可得出結論．

（1）解：過E作EF∥AB，如圖①所示：

則EF∥AB∥CD，

∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，

∴∠B+∠D＝∠BEF+∠DEF，

即∠B+∠D＝∠BED；

故答案為：＝；

（2）解：逆命題為：若∠B+∠D＝∠BED，則AB∥CD；

該逆命題為真命題；理由如下：

過E作EF∥AB，如圖①所示：

則∠B＝∠BEF，

∵∠B+∠D＝∠BED，∠BEF+∠DEF＝∠BED，

∴∠D＝∠BED﹣∠B，∠DEF＝∠BED﹣∠BEF，

∴∠D＝∠DEF，

∴EF∥CD，

∵EF∥AB，

∴AB∥CD；

（3）證明：過點N作NG∥AB，交AM于點G，如圖②所示：

則NG∥AB∥CD，

∴∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，

∵∠AMN是△ACM的一個外角，

∴∠AMN＝∠ACM+∠CAM，

又∵∠AMN＝∠ANM，∠ANM＝∠ANG+∠GNC，

∴∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，

∴∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，

∵CN平分∠ACD，

∴∠ACM＝∠NCD，

∴∠CAM＝∠BAN．