Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是斜邊AB上的中點，E是邊BC上的點，AE與CD交于點F，且AC2=CECB．
（1）求證：AE⊥CD；
（2）連接BF，如果點E是BC中點，求證：∠EBF=∠EAB．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AC2=CECB，

∴ ．

又∵∠ACB=∠ECA=90°

∴△ACB∽△ECA，

∴∠ABC=∠EAC．

∵點D是AB的中點，

∴CD=AD，

∴∠ACD=∠CAD

∵∠CAD+∠ABC=90°，

∴∠ACD+∠EAC=90°

∴∠AFC=90°，

∴AE⊥CD

（2）證明：∵AE⊥CD，

∴∠EFC=90°，

∴∠ACE=∠EFC

又∵∠AEC=∠CEF，

∴△ECF∽△EAC

∴

∵點E是BC的中點，

∴CE=BE，

∴

∵∠BEF=∠AEB，

∴△BEF∽△AEB

∴∠EBF=∠EAB．

【解析】（1）先根據題意得出△ACB∽△ECA，再由直角三角形的性質得出CD=AD，由∠CAD+∠ABC=90°可得出∠ACD+∠EAC=90°，進而可得出∠AFC=90°；（2）根據AE⊥CD可得出∠EFC=90°，∠ACE=∠EFC，故可得出△ECF∽△EAC，再由點E是BC的中點可知CE=BE，故 ，根據∠BEF=∠AEB得出△BEF∽△AEB，進而可得出結論．