Question

【題目】已知ABC在平面直角坐標系內，滿足：點A在y軸正半軸上移動，點B在x軸負半軸上移動，點C為y軸右側一動點．

點A0,a和點Bb,0坐標恰好滿足：，直接寫出a,b的值．

⑵如圖①，當點C在第四象限時，若AM、AO將BAC三等分，BM、BO將ABC三等分，在A、B、C的運動過程中，試求出C和M的關系．

⑶探究：

（i）如圖②，當點C在第四象限時，若AM平分CAO,BM平分CBO,在A、B、C的運動過程中，C和M是否存在確定的數量關系？若存在，請證明你的結論；若不存在，請說明理由．

（ii）如圖③，當點C在第一象限時，且在（i）中的條件不變的前提下，C和M又有何數量關系？證明你的結論．

Answer 1

【答案】(1)a=-2,b=3; (2) ∠M-∠C=90°（或∠M+∠C=180°，即∠M與∠C互補.）；（3）（i）2∠M-∠C=90°； （ii）2∠M-∠C=90°.

【解析】

（1）根據非負數的性質得到關于a,b的二元一次方程組，解方程組即可；

（2）根據三等分線的性質可得出∠CAB=3∠MAB,∠CBA=3∠MBA，∠OAB=2∠MAB,∠OBA=2∠MBA.根據三角形的內角和等于180°，可求出∠OAB+∠OBA=90°，從而得出∠MAB+∠MBA=45°，∠CAB+∠CBA=135°，再次根據三角形的內角和等于180°分別求出∠M=135°，∠C=45°，從而得出∠M-∠C=90°.

（3）根據角平分線的定義和三角形的內角和定理可得出結論2∠M-∠C=90°.

解：（1）∵

∴,解得：

即a,b的值分別為2，-3.

（2）如圖1.∠M-∠C=90°.理由如下：

∵AM、AO將BAC三等分，

∴∠CAB=3∠MAB,∠MAB=∠OAB.

∵BM、BO將ABC三等分，

∴∠CBA=3∠MBA,∠MBA=∠OBA.

∵∠OAB+∠OBA=90°，

∴∠MAB+∠MBA=90°=45°，

∵∠MAB+∠MBA+∠M=180°，

∴∠M=135°.

∵∠MAB+∠MBA=45°，

∴∠CBA+∠CAB=3（∠MAB+∠MBA）=345°=135°，

∵∠CBA+∠CAB+∠C=180°.

∴∠C=45°.

∴∠M-∠C=90°.（或∠M+∠C=180°，即∠M與∠C互補.）

（3）（i）如圖2.∵AM平分CAO,

∴∠CAO=2∠MAO.

∵BM平分CBO,

∴CBO=2MBO.

∴∠CAO+CBO=2∠MAO+2MBO=2(∠MAO+MBO)

∵∠C+∠CAO+∠OAB+∠OBA+∠CBO=180°，∠OAB+∠OBA=90°，

∴∠C+∠CAO+∠CBO=180°-90°=90°.

∴∠C+2(∠MAO+MBO)= 90°.

∵∠M+∠MAO+∠OAB+∠OBA+∠MBO=180°，

∴∠M+∠MAO+∠MBO=180°-（∠OAB+∠OBA）=180°-90°=90°.

∴∠MAO+∠MBO=90°-∠M

∵∠C+2(∠MAO+MBO)= 90°，

∴∠C+2(90°-∠M) = 90°.

即2∠M-∠C=90°.

（ii）如圖3. ∵AM平分CAO,

∴∠CAO=2∠MAO.

∵BM平分CBO,

∴CBO=2MBO.

∴∠CAO-CBO=2(∠MAO-MBO)

∵∠C+∠CAO+∠0AB+∠OBA-∠CBO=180°，且∠OAB+∠OBA=90°，

∴∠C+∠CAO-∠CBO=90°.

∴∠C+2(∠MAO-MBO)= =90°.

∵∠M+∠MAO+∠0AB+∠OBA-∠MBO=180°,

∴∠M+∠MAO-∠MBO=90°,

∴∠MAO-∠MBO=90°-∠M.

∴∠C+2(90°-∠M)= 90°,

即2∠M-∠C=90°.