Question

【題目】對于平面直角坐標系xOy中的點P和⊙M，給出如下定義：若⊙M上存在兩個點A，B，使AB=2PM，則稱點P為⊙M的“美好點”.

(1)當⊙M半徑為2，點M和點O重合時，

①點P1(-2，0)，P2(1，1)，P3(2，2)中，⊙O的“美好點”是______；

②點P為直線y=x+b上一動點，點P為⊙O的“美好點”，求b的取值范圍；

(2)點M為直線y=x上一動點，以2為半徑作⊙M，點P為直線y=4上一動點，點P為⊙M的“美好點”，求點M的橫坐標m的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)①P1，P2；②；(2)2≤m≤6.

【解析】

利用圓的性質，圓的切線定理可依次推導出.

解：(1)①因為

則有當AB最長為直徑時，“美好點”在圓周上；

當AB小于直徑時，2PM＜直徑，“美好點”在圓內.

所以點P的軌跡在圓內部和圓周上.

P1(-2，0)在圓上，P2（1,1）在圓內； P3（2,2）在圓外，所以選P1和P2.

②當直線與⊙O相切時，直線與X軸正向夾角為45°.

如圖：直線與圓相切，則有或；

∴.

(2) 因為點M為直線上一動點, 點P作為⊙M的“美好點”又是直線上一動點,

直線 可以得到直線與X軸正向夾角為45°.

⊙M半徑為2,考慮臨界情況: ⊙M與相切

∴當直線y=4與⊙M相切時，則有

M1在 下方，此時M1橫坐標即為2

M2在 上方, M2的橫坐標為2+4=6.

∴ .