Question

【題目】感知定義

在一次數學活動課中，老師給出這樣一個新定義：如果三角形的兩個內角α與β滿足α+2β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“類直角三角形”．

嘗試運用

（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，BD是∠ABC的平分線．

①證明△ABD是“類直角三角形”；

②試問在邊AC上是否存在點E（異于點D），使得△ABE也是“類直角三角形”？若存在，請求出CE的長；若不存在，請說明理由．

類比拓展

（2）如圖2，△ABD內接于⊙O，直徑AB＝10，弦AD＝6，點E是弧AD上一動點（包括端點A，D），延長BE至點C，連結AC，且∠CAD＝∠AOD，當△ABC是“類直角三角形”時，求AC的長．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②CE＝；（2）當△ABC是“類直角三角形”時，AC的長為或．

【解析】

（1）①證明∠A+2∠ABD=90°即可解決問題．

②如圖1中,假設在AC邊設上存在點E（異于點D）,使得△ABE是“類直角三角形”,證明△ABC∽△BEC,可得,由此構建方程即可解決問題．

（2）分兩種情形:①如圖2中,當∠ABC+2∠C=90°時,作點D關于直線AB的對稱點F,連接FA,FB．則點F在⊙O上,且∠DBF=∠DOA．

②如圖3中,由①可知,點C,A,F共線,當點E與D共線時,由對稱性可知,BA平分∠FBC,可證∠C+2∠ABC=90°,利用相似三角形的性質構建方程即可解決問題．

（1）①證明:如圖1中,

∵BD是∠ABC的角平分線,

∴∠ABC＝2∠ABD,

∵∠C＝90°,

∴∠A+∠ABC＝90°,

∴∠A+2∠ABD＝90°,

∴△ABD為“類直角三角形”;

②如圖1中,假設在AC邊設上存在點E（異于點D）,使得△ABE是“類直角三角形”,

在Rt△ABC中,∵AB＝5,BC＝3,

∴AC＝,

∵∠AEB＝∠C+∠EBC＞90°,

∴∠ABE+2∠A＝90°,

∵∠ABE+∠A+∠CBE＝90°,

∴∠A＝∠CBE,

∴△ABC∽△BEC,

∴,

∴CE＝,

（2）∵AB是直徑,

∴∠ADB＝90°,

∵AD＝6,AB＝10,

∴BD＝,

①如圖2中,當∠ABC+2∠C＝90°時,作點D關于直線AB的對稱點F,連接FA,FB,則點F在⊙O上,且∠DBF＝∠DOA,

∵∠DBF+∠DAF＝180°,且∠CAD＝∠AOD,

∴∠CAD+∠DAF＝180°,

∴C，A，F共線,

∵∠C+∠ABC+∠ABF＝90°,

∴∠C＝∠ABF,

∴△FAB∽△FBC,

∴,即 ,

∴AC＝．

②如圖3中,由①可知,點C,A,F共線,當點E與D共線時,由對稱性可知,BA平分∠FBC,

∴∠C+2∠ABC＝90°,

∵∠CAD＝∠CBF,∠C＝∠C,

∴△DAC∽△FBC,

∴,即,

∴CD＝（AC+6）,

在Rt△ADC中,[ （ac+6）]2+62＝AC2,

∴AC＝或﹣6（舍棄）,

綜上所述,當△ABC是“類直角三角形”時,AC的長為 或．