Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于點和點，直線與軸、軸分別交于點和點，直線與相交于點，線段、的長是-元二次方程的兩根()， ，點的橫坐標為3，反比例函數的圖象經過點．

（1）若直線與反比例函數圖象上除點外的另一交點為，求的面積：若點在軸上，若點在軸上，求的最小值：

（2）若點在坐標軸．上，在平面內存在一點，使以點、、、為頂點的四邊形是矩形且線段為矩形的一條邊， 直接寫出符合條件的點坐標．

Answer 1

【答案】（1）72，20；（2）N點的坐標為(9，)、(9，)或(10，12)

【解析】

（1）先解一元二次方程，得出0A, OC，即可得點A,C坐標，進而求出OB,得出B點坐標，進而求出直線AB解析式，即可得出點E坐標，再求出點P坐標，再用面積的差求出三角形ECP的面積；作出點P關于x 軸的對稱點P’,作出點E關于y軸的對稱點E', P’E'就是的最小值．

（2）先確定出直線CE解析式，再過點E作直線CE的垂線與坐標軸相交于M, M’,求出MM’的解析式，進而根據矩形的性質，求出直線BN, CN, M'N’最后求直線交點坐標即可．

（1）∵線段OA、OC的長是一元二次方程的兩根(OA>OC)，

∴OC=6，OA=12，

∴A(12,0),C(6,0)，

∴OB=OA=16，

∴B(0,16)，

設直線AB解析式為y=k′x+16，

∴12k′+16=0，

∴k′=，

∴直線AB解析式為y=x+16，

∵AB與CD相交于點E，點E的橫坐標為3，

∴E(3,12)，

∵反比例函數的圖象經過點E，

∴k=3×12=36，

如圖1，

∵點P在直線AB上，

∴設P(m,m+16)，

由(1)知，k=36，

∴反比例函數解析式為y=36x，

∵點P還在反比例函數的圖象上，

∴m×(m+16)=36，

∴m=3(舍)或m=9，

∴P(9,4)，

由(1)知,A(12,0),C(6,0),E(3,12)

∴AC=18

∴S△ECP=S△ECAS△PCA=12AC×|yE|12AC×|yP|=12AC×(|yE||yP|)=12×18×(124)=72；

如備用圖，作點P關于x軸的對稱點，

∵P(9,4)，

∴P′(9,4)，

作點E關于y軸的對稱點，

∵E(3,12)，

∴E′(3,12)，

連接P′E′交x軸于R，交y軸于S，此時，PR+RS+RE最小，

最小值=P′E′=

（2）如圖2,由(1)知,C(6,0),E(3,12)，

∴直線CE解析式為y=x+8，

∵以點C，E，M，N為頂點的四邊形是矩形且線段CE為矩形的一條邊，

∴過點E作MM′⊥CE，

∴直線MM′的解析式為y=x+④，

∴M(0,).M′(19,0)，

過點M作MN∥CE，

∴直線MN解析式為y=x+,①

過點C作CN⊥MN，

∴直線CN的解析式為y=x②

①聯立①②得,x=9,y=，

∴N(9,)，

②過點M′作M′N′⊥MM′交直線CN于N′

∴直線M′N′的解析式為y=x③，

聯立②③得，x=10，y=12，

∴N′(10,12)，

③過M′′作M′′N′⊥CN交MM′于N，

∵直線CN的解析式為y=x

∴M′′N′′的解析式為y=x⑤，

聯立④⑤解得,x=9,y=，

∴N′′(9,)

∴滿足條件的N點的坐標為(9,)、(9,)或(10,12)