Question

【題目】如圖，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=10，sinB= ，點O是AB的中點，∠DOE=∠A，當∠DOE以點O為旋轉中心旋轉時，OD交AC的延長線于點D，交邊CB于點M，OE交線段BM于點N．

（1）當CM=2時，求線段CD的長；
（2）設CM=x，BN=y，試求y與x之間的函數解析式，并寫出定義域；
（3）如果△OMN是以OM為腰的等腰三角形，請直接寫出線段CM的長．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1中，作OH⊥BC于H．

在Rt△ABC中，∵AB=10，sinB= ，

∴AC=6，BC=8，

∵AO=OB，OH∥AC，

∴CH=HB=4，OH=3，

∵CM=2，

∴CM=HM=2，

在△DCM和△OHM中，

，

∴△DCM≌△OHM，

∴CD=OH=3．

（2）

解：解：如圖2中，作NG⊥OB于G．

∵∠HOB=∠A=∠MON，

∴∠1=∠2，

在Rt△BNG中，BN=y，sibB= ，

∴GN= y，BG= y，

∵tan∠1=tan∠2，

∴ = ，

∴ = ，

∴y= ，（0＜x＜4）

（3）

①如圖3中，當OM=ON時，OH垂直平分MN，

∴BN=CM=x，

∵△OMH≌△ONG，

∴NG=HM=4﹣x，

∵sinB= ，

∴ = ，

∴CM=x= ．

②如圖4中，當OM=MN時．連接CO，

∵OA=OB，OM=MN，

∴CO=OA=OB，

∴∠MON=∠MNO=∠A=∠OCA，

∴△MON∽△OAC，

∴∠AOC=∠OMN，

∴∠BOC=∠CMO，∵∠B=∠B，

∴△CMO∽△COB，

∴ = ，

∴8x=52，

∴x= ．

綜上所述，△OMN是以OM為腰的等腰三角形時，線段CM的長為 或

【解析】（1）如圖1中，作OH⊥BC于H．只要證明△DCM≌△OHM，即可得出CD=OH=3．（2）如圖2中，作NG⊥OB于G．首先證明∠1=∠2，根據tan∠1=tan∠2，可得 = ，由此即可解決問題．（3）分兩種情形討論即可①如圖3中，當OM=ON時，OH垂直平分MN，②如圖4中，當OM=MN時，分別求解即可．