Question

已知a、b均為正數(shù)，且a+b=2，求W=

a2+4

+

b2+1

的最小值．

Answer 1

分析：將b=2-a代入W=

a2+4

+

b2+1

，得到W的關(guān)于a的表達(dá)式，再利用勾股定理，將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為直角三角形兩斜邊AP、BP的和，利用勾股定理求和即可．

解答：解：得W=

a2+22

+

(2-a)2+12

，（5分）
構(gòu)造如下圖形，其中ED=2，AE=2，BD=1，AE⊥l，BD⊥l，
P是ED上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，
設(shè)PE=a，則W=

a2+22

+

(2-a)2+12

=AP+BP，（5分）
當(dāng)B、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，W的值最小，此時(shí)由勾股定理可求得

a2+4

+

b2+1

的最小值為

13

．（5分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了軸對(duì)稱(chēng)---最短路徑問(wèn)題，將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為勾股定理，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合在解題中的作用．