Question

（1）設a、b、c、d為正實數，a＜b，c＜d，bc＞ad，有一個三角形的三邊長分別為

a2+c2

，

b2+d2

，

(b-a)2+(d-c)2

，求此三角形的面積；
（2）已知a，b均為正數，且a+b=2，求U=

a2+4

+

b2+1

的最小值．

Answer 1

分析：（1）顯然不能用面積公式求三角形面積，

a2+c2

的幾何意義是以a、c為直角邊的直角三角形的斜邊，從構造圖形人手，將復雜的根式計算轉化為幾何問題加以解決；
（2）用代數的方法求U的最小值較繁，運用對稱分析，借助圖形求U的最小值．

解答：解：如圖1，作長方形ABCD，使AB=b-a，AD=c，
延長DA至E，使DE=d，延長DC至F，使DF=b，連接EF、FB，
則BF=

a2+c2

，EF=

b2+d2

，BE=

(b-a)2+(d-c)2

，
從而可知△BEF就是題設的三角形；
而S_△BEF=S_{長方形ABCD}+S_△BCF+S_△ABE-S_△DEF
=（b-a）c+

1

2

ac+

1

2

（d-c）（b-a）-

1

2

bd
=

1

2

（bc-ad）；

（2）將b=2-a代入U=

a2+4

+

b2+1

中，得U=

a2+22

+

(2-a)2+12

，
構造圖形（如圖2），
可得U的最小值為A′B=

A′B′2+BB′2

=

13

．

點評：本題考查了二次根式在計算圖形面積，勾股定理中的運用．關鍵是根據題意，構造圖形求解．