Question

7．如圖，拋物線y=ax²+$\frac{9}{4}$經過△ABC的三個頂點，點A坐標為（-1，2），點B是點A關于y軸的對稱點，點C在x軸的正半軸上．
（1）求該拋物線的函數關系表達式；
（2）點F為線段AC上一動點，過F作FE⊥x軸，FG⊥y軸，垂足分別為E、G，當四邊形OEFG為正方形時，求出F點的坐標．

Answer 1

分析 （1）運用待定系數法，就可求出拋物線的函數關系表達式；
（2）①當點F在第一象限時，如圖1，可求出點C的坐標，直線AC的解析式，設正方形OEFG的邊長為p，則F（p，p），代入直線AC的解析式，就可求出點F的坐標；
②當點F在第二象限時，同理可求出點F的坐標，此時點F不在線段AC上，故舍去；

解答 解：（1）∵拋物線y=ax²+$\frac{9}{4}$經過△ABC的三個頂點，點A坐標為（-1，2），
∴2=a+$\frac{9}{4}$，
∴a=-$\frac{1}{4}$，
∴拋物線的函數關系表達式為y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{9}{4}$；
（2）①當點F在第一象限時，如圖1，
令y=0得，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{9}{4}$=0，
解得：x₁=3，x₂=-3，
∴點C的坐標為（3，0）．
設直線AC的解析式為y=mx+n，
則有$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=2}\\{3m+n=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$．
設正方形OEFG的邊長為p，則F（p，p）．
∵點F（p，p）在直線y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$上，
∴-$\frac{1}{2}$p+$\frac{3}{2}$=p，
解得p=1，
∴點F的坐標為（1，1）．
②當點F在第二象限時，
同理可得：點F的坐標為（-3，3），
此時點F不在線段AC上，故舍去．
綜上所述：點F的坐標為（1，1）；

點評 此題是二次函數綜合題，主要考查了運用待定系數法求拋物線及直線的解析式、直線及拋物線上點的坐標特征、拋物線的性質，正方形的性質，運用分類討論的思想是解決第（2）小題的關鍵，在解決問題的過程中要驗證是否符合題意．