Question

（2002•鄂州）已知：如圖，在⊙O的內接等邊三角形ABC中，經過點A的弦與BC和弧分別相交于點D和P，連接PB、PC．
（1）寫出圖中所有的相似三角形：______；
（2）求證：PA²=BC²+PB•PC．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用同弧所對的圓周角相等，證得角相等，即可證得相似三角形；
（2）利用相似三角形的性質求得即可．
解答：（1）解：△ADB∽△CDP，△ADC∽△BDP，△ABD∽△APB，
△ADC∽△ACP，△BDP∽△ACP，△APB∽△CPD；

（2）證明：∵△ADC∽△BDP
∴
∴AD=
∵△ADB∽△CDP
∴
∴PD=
∴PA=AD+PD=+=
∴
∵∠ABD=∠ACB=∠APB=60°
∵∠BAP=∠DAB
∴△ABD∽△APB
∴
即PA=
∴PA²=BC²+PB•PC
點評：此題考查了圓的性質、相似三角形的判定與性質及比例變形．此題有一定難度，解題要細心．