Question

（2002•鄂州）已知拋物線y=mx²-2mx+4m-與x軸的兩個交點的坐標為A（x₁，0），B（x₂，0）（x_l＜x₂），且x₁²+x₂²=34．
（1）求m，x₁，x₂的值；
（2）在拋物線上是否存在點C，使△ABC是一個頂角為120°的等腰三角形？若存在，請求出所有點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題要根據韋達定理來求解，先表示出x₁+x₂和x₁•x₂的值，然后代入x₁²+x₂²=34中即可求出m的值，進而可求出x₁，x₂的值．
（2）如果△ABC是一個頂角為120°的等腰三角形，那么∠CBA=30°，即直線BC的斜率為，據此可求出直線BC的解析式，然后聯立拋物線的解析式即可求出C點的坐標，然后判斷AC是否等于BC或AB是否等于BC即可，再利用C點可能在x軸上方，分別求出即可．
解答：解：（1）令y=0，則有：0=mx²-2mx+4m-；
∴x₁+x₂=8，x₁•x₂=
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=64-2×=34
解得m=
∴y=x²-x+5
∴x²-x+5=0，
解得x₁=3，x₂=5
（2）假設存在符合條件的C點，那么∠CBA=30°，
設直線BC的解析式為y=kx+b，
則k=tan30°=，已知B（5，0）
∴y=x-
聯立拋物線的解析式有：

解得：，
∴存在符合條件的C點，坐標為（4，-）．
如圖所示：
當AB=BC′時，過點C′作C′E⊥x軸于點E，
∵∠ABC′=120°，則∠C′BE=60°，
∴∠BC′E=30°，
∴BE=BC′=1，
∴EC′=，
∴C′（6，）．
當AC″=AB時，C″（2，）．
綜上所述：C點坐標為：（4，-），（6，），（2，）．
點評：本題主要考查了二次函數與一元二次方程的關系、韋達定理的應用、函數圖象交點以及等腰三角形的判定等知識點．