Question

(2006遼寧沈陽課改，25)如圖①，在正方形ABCD中，點E、F分別為邊BC、CD的中點，AF、DE相交于點G，則可得結論：①AF=DE；②AF⊥DE．(不需要證明)

圖①

(1)如圖②，若點E、F不是正方形ABCD的邊BC、CD的中點，但滿足CE=DF．則上面的結論①、②是否仍然成立？(請直接回答“成立”或“不成立”)

圖②

(2)如圖③，若點E、F分別在正方形ABCD的邊CP的延長線和DC的延長線上，且CE=DF，此時上面的結論①、②是否仍然成立？若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由；

圖③

(3)如圖④，在(2)的基礎上，連接AE和EF，A若點M、N、P、Q分別為AE、EF、FD、AD的中點，請判斷四邊形MNPQ是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一種？并寫出證明過程．

圖④

Answer 1

答案：略
解析：

(1)成立 (2)成立 ∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADF=∠DCE=90°，AD=CD． 又∵EC=DF∴ΔADF≌ΔDCE，∴∠E=∠F，AF=DE． 又∵∠E＋∠CDE=90°，∴∠F＋∠CDE=90°，∴∠FGD=90°，∴AF⊥DE． (3)正方形 證明：∵AM=ME，AQ=DQ ∴MQ∥ED，，同理NP∥ED，，∴MQNP． ∴四邊形MNPQ是平行四邊形，又∵ME=MA，NE=NF，∴MN∥AF，． 又∵AF=ED，∴MQ=MN． ∴平行四邊形MNPQ是菱形． ∵AF⊥ED，MQ∥ED，∴AF⊥MQ．又∵MN∥AF，∴MN⊥MQ． ∴ΔQMN=90°，∴菱形MNPQ是正方形．