Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，折疊正方形紙片，使AD落在BC上，點A恰好與BD上的點F重合，展開后折痕DE分別交AB，AC于點E、G，連結GF，給出下列結論①∠AGD＝110.5°；②S△AGD＝S△OGD；③四邊形AEFG是菱形；④BF＝OF；⑤如果S△OGF＝1，那么正方形ABCD的面積是12+8，其中正確的有（　　）個．

A.2個B.3個C.4個D.5個

Answer 1

【答案】B

【解析】

①由四邊形ABCD是正方形，可得∠GAD＝∠ADO＝45°，又由折疊的性質，可求得∠ADG的度數，從而求得∠AGD；

②證△AEG≌△FEG得AG＝FG，由FG＞OG即可得；

③先計算∠AGE＝∠GAD+∠ADG＝67.5°，∠AED=∠AGD－∠EAG=67.5°，從而得到∠AGE＝∠AED，易得AE=AG，由AE＝FE、AG＝FG即可得證；

④設OF＝a，先求得∠EFG＝45°，易得∠GFO＝45°，在Rt△OFG中，GF＝OF=a，從而可證得BF＝EF＝GF＝OF；

⑤由S△OGF＝1求出a2，再表示出BE及AE的長，利用正方形的面積公式可得出結論．

解：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠EAG=∠GAD＝∠ADO＝45°，∠AOB=90°，

由折疊的性質可得：∠ADG＝∠ADO＝22.5°，

∴∠AGD＝180°－∠GAD－∠ADG＝112.5°，

故①錯誤；

由折疊的性質可得：AE＝EF，∠AEG＝∠FEG，

在△AEG和△FEG中，，

∴△AEG≌△FEG（SAS），

∴AG＝FG，

∵在Rt△GOF中，AG＝FG＞GO，

∴S△AGD＞S△OGD，故②錯誤；

∵∠AGE＝∠GAD+∠ADG＝67.5°，∠AED=∠AGD－∠EAG=67.5°，

∴∠AGE＝∠AED，

∴AE＝AG，

又∵AE＝FE，AG＝FG，

∴AE＝EF＝GF＝AG，

∴四邊形AEFG是菱形，故③正確；

設OF＝a，

∵△AEG≌△FEG，

∴∠EFG＝∠EAG=45°，

又∵∠EFO＝90°，

∴∠GFO＝45°，

∴在Rt△OFG中，GF＝OF=a，

∵∠EFO＝90°，∠EBF＝45°，

∴在Rt△EBF中，BF＝EF＝GF＝a，即BF＝OF，故④正確；

∵S△OGF＝1，

∴OF2＝1，即a2＝1，

則a2＝2，

∵BF＝EF＝a，且∠BFE＝90°，

∴BE＝2a，

又∵AE＝EF＝a，

∴AB＝AE+BE＝a+2a＝(2+)a，

則正方形ABCD的面積是(2+)2a2＝(6+)×2＝12+，

故⑤正確；

故選：B．