Question

【題目】如圖,在△ABC中,ACB=90°,DE是AB邊的垂直平分線,與AC交于點D,與AB交于點E，M是BD的中點

(1)求證: CM= EM;

(2)當線段AC長度改變時, △CME與△ABD的面積之比是否發生變化?如果不變,求出比值;如果發生變化。說明如何變化.

Answer 1

【答案】(1)見解析（2）△CME與△ABD的面積之比＝1：4，理由見解析.

【解析】

（1）利用三角形的中位線定理條件直角三角形斜邊中線的性質即可解決問題．

（2）結論：△CME與△ABD的面積之比＝1：4．利用相似三角形的性質即可解決問題．

（1）證明：∵DE是AB邊的垂直平分線，

∴AE＝BE，DB＝AD，

∵BM＝MD，

∴EM＝AD，

∵∠BCD＝90°，BM＝MD，

∴CM＝BD，

∴CM＝EM．

（2）解：結論：△CME與△ABD的面積之比＝1：4．

理由：∵DE垂直平分線段AB，

∴DB＝DA，∵MC＝ME，

∴△MCE，△ADB都是等腰三角形，

∵EM∥AC，

∴∠MEC＝∠ECA，

∵∠ACB＝90°，BE＝EA，

∴∠ECA＝∠A，

∴∠MEC＝∠A，

∴△MEC∽△DAB，

∴．