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【題目】如圖1,在矩形ABCD中,AB8AD10ECD邊上一點,連接AE,將矩形ABCD沿AE折疊,頂點D恰好落在BC邊上點F處,延長AEBC的延長線于點G

1)求線段CE的長;

2)如圖2MN分別是線段AGDG上的動點(與端點不重合),且∠DMN=∠DAM,設AMxDNy

寫出y關于x的函數解析式,并求出y的最小值;

是否存在這樣的點M,使△DMN是等腰三角形?若存在,請求出x的值;若不存在,請說明理由.

【答案】13;(2yx2x+10y有最小值為2存在,810

【解析】

1)由翻折可知:ADAF10DEEF,求出BF,設ECx,則DEEF8x,在RtECF中,利用勾股定理構建方程即可解決問題;

2)①首先求出AGDG,∠ADM=∠NMG,證明ADM∽△GMN,可得,整理后根據二次函數的最值求解即可.

②存在.有兩種情形:如圖31中,當MNMD時.如圖32中,當MNDN時,分別通過證明三角形相似,利用相似三角形的性質求解即可.

解:(1)如圖1中,

∵四邊形ABCD是矩形,

ADBC10ABCD8,∠B=∠BCD90°

由翻折可知:ADAF10DEEF

RtABF中,BF6

CFBCBF1064

CEx,則DEEF8x

RtEFC中,則有:(8x2x2+42

x3,即CE3.

2)①如圖2中,

,

ADCG

CG6

BGBC+CG16

RtABG中,AG

RtDCG中,DG

ADDG10

∴∠DAG=∠AGD

∵∠DMG=∠DMN+NMG=∠DAM+ADM,∠DMN=∠DAM

∴∠ADM=∠NMG

∴△ADM∽△GMN

yx2x+10

∴當x4時,y有最小值,將x4代入可得,最小值=2

②存在,

由①可得∠DMN=∠DGM

∴∠DNM=∠DMG

∴∠DNM≠DMN

所以有兩種情形:如圖31中,當MNMD時,

∵∠MDN=∠GDM,∠DMN=∠DGM

∴△DMN∽△DGM

MNDM

DGGM10

xAM810

如圖32中,當MNDN時,作MHDGH

MNDN

∴∠MDN=∠DMN

∵∠DMN=∠DGM

∴∠MDG=∠MGD

MDMG

MHDG

DHGH5

∵∠DAG=∠DGA,∠DAG=∠AGB

∴∠DGA=∠AGB

又∵∠MHG=∠ABG90°

∴△GHM∽△GBA

MG

xAM8

綜上所述,滿足條件的x的值為810

練習冊系列答案
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(1)求的度數;

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